Question

（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x∈R）．
⑴当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
⑵设关于x的方程f（x）=的两个实根为x₁,x₂，且-1≤a≤1,求｜x₁-x₂｜的最大值；
⑶在（2）的条件下，若对于［-1，1］上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥｜x₁-x₂｜恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］；（2）3；（3）m≥2或m≤-2

⑴由f（1）=1得a="-1" ，……………………………………………………2分
f′（x）===≥0……………………4分
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］…5分
⑵方程f（x）=可化为x²-ax-2=0，Δ=a²+8 >0
∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，
则x₁+x₂=a,x₁x₂=-2…………………………7分
∴｜x₁-x₂｜=
∵-1≤a≤1 ，∴当a=±1时，
∴｜x₁-x₂｜_max==3…………………………8分
⑶若不等式m²+tm+1≥｜x₁-x₂｜恒成立，
由⑵可得m²+tm+1≥3，对t∈［-1，1］都成立m²+tm-2≥0 ，t∈［-1，1］，
设g（t）=m²+tm-2…………………………………………9分
若使t ∈［-1，1］时g（t）≥0都成立，
则…………11分
解得：m≥2或m≤-2 ，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2……………………12分