Question

3．已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．
（1）求通项a_n；
（2）若b_n=log₂a_n，{b_n•a_n}数列的前n项和为S_n，求S_n的值．

Answer 1

分析 （1）根据a₂=2，a₅=128，直接由等比数列的通项公式列式计算首项和公比，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=log₂a_n，判断出数列{b_n}是等差数列，利用错位相减法进行求和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=128
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}{q}^{4}=128}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{2}}\\{q=4}\end{array}\right.$．
于是${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=\;\frac{1}{2}×{4^{n-1}}={2^{2n-3}}$；
（2）因为${a_n}={2^{2n-3}}$=$\frac{1}{2}$•4^n-1，
由b_n=log₂a_n，可得${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{2^{2n-3}}=2n-3$．
∴b_n•a_n=（2n-3）•2•4^n-1，
则S_n=2[-1•1+1•4+3•4²+…+（2n-3）•4^n-1]，①
4S_n=2[-1•4+1•4²+3•4³+…+（2n-5）•4^n-1+（2n-3）•4ⁿ]，②
①-②得-3S_n=2[-1+2•4+2•4²+2•4³+…+2•4^n-1-（2n-3）•4ⁿ]
=2[-1+$\frac{2×4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（2n-3）•4ⁿ]
=2[-1+$\frac{8}{3}$×4^n-1-$\frac{8}{3}$-（2n-3）•4ⁿ]=-$\frac{22}{3}$+$\frac{16}{3}$×4^n-1-2（2n-3）•4ⁿ
=-$\frac{22}{3}$+$\frac{4}{3}$×4ⁿ-2（2n-3）•4ⁿ
=-$\frac{22}{3}$+（$\frac{22}{3}$-4n）•4ⁿ
∴S_n=$\frac{22}{9}$-（$\frac{4n}{3}$-$\frac{22}{9}$）•4ⁿ

点评 本题考查了等比数列的通项公式以及数列求和，考查了对数式的运算性质，利用错位相减法是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．