Question

12．“m≤2”是“方程x³-3x+m=0”在[0，2]上有解的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 因为是方程有解，转化为函数在[0，2]的函数值，利用导数求解即可，再根据必要的定义即可判断．

解答 解：由题意方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，则-m=x³-3x，x∈[0，2]
求函数的值域即得实数m的取值范围
令y=x³-3x，x∈[0，2]
y'=3x²-3
令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增，
又x=1，y=-2；x=2，y=2；x=0，y=0
∴函数y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]
故-m∈[-2，2]，
∴m∈[-2，2]，
“m≤2”是“方程x³-3x+m=0”在[0，2]上有解的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用，以及必要条件和充分条件的判断，属于中档题．