题目内容
15.在△ABC中,已知2cosB=$\frac{c}{a}$,则“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的( )A. | 充要条件 | B. | 充分不必要条件 | ||
C. | 必要不充分条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
分析 由2cosB=$\frac{c}{a}$结合正弦定理,诱导公式和两角和与差的正弦公式,可得A=B,进而分析“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”与“△ABC为直角三角形”的充分性和必要性,可得答案.
解答 解:∵2cosB=$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$,
∴2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴-sinAcosB+cosAsinB=sin(B-A)=0,
故A=B,
若“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”,则“2sinAsinC=$\frac{sinC}{sinB}$”,则2sinAsinB=2sin2A=1,解得:sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即A=B=45°,则C为直角,“△ABC为直角三角形”,
故“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的充分条件;
若“△ABC为直角三角形”,则“△ABC为等腰直角三角形”,则C为直角,则“2sinAsinC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}{b}$”,
故“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的必要条件;
综上“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的充分必要条件;
故选:A
点评 本题考查的知识点是正弦定理,诱导公式和两角和与差的正弦公式,充要条件,难度中档.
练习册系列答案
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A. | ①②④⑤ | B. | ②③④⑤ | C. | ②④⑤ | D. | ②④⑤⑥ |