题目内容
13.已知数列{an}前n项和是Sn,且an=3(1-Sn)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2(1-Sn+1)(n∈N*),记数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$}前n项和为Tn,求Tn.
分析 (1)利用递推式、等比数列的通项公式即可得出;
(2)由(1)可得:1-Sn+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=2-2n-2.可得bn=-2n-2.于是$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{(-2n-2)(-2n-4)}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$.利用“裂项求和”即可得出.
解答 解:(1)∵an=3(1-Sn)(n∈N*),∴当n=1时,a1=3(1-a1),解得a1=$\frac{3}{4}$.
当n≥2时,an-1=3(1-Sn-1),∴an-an-1=-3an,化为an=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$.
∴数列{an}是等比数列,首项为$\frac{3}{4}$,公比为$\frac{1}{4}$.
∴an=$\frac{3}{4}$×$(\frac{1}{4})^{n-1}$=$3×\frac{1}{{4}^{n}}$.
(2)由(1)可得:1-Sn+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{{4}^{n+1}}$=2-2n-2.
∴bn=log2(1-Sn+1)=-2n-2.
∴$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{(-2n-2)(-2n-4)}$=$\frac{1}{4(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$.
∴数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$}前n项和为Tn=$\frac{1}{4}[(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$+…+$(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})]$
=$\frac{1}{4}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$
=$\frac{n}{8(n+2)}$.
点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 充要条件 | B. | 充分不必要条件 | ||
C. | 必要不充分条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
A. | x2-2 | B. | x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$ | C. | x2+2 | D. | x2-$\frac{1}{{x}^{2}}$ |