Question

5．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，n∈N^*．
（1）写出该数列的第4项和第7项；
（2）试判断$\frac{9}{10}$和$\frac{1}{10}$是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，直接代入计算即得结论；
（2）通过令$\frac{9}{10}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$计算可知n=3，通过令$\frac{1}{10}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$计算可知n=$\frac{1}{3}$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，n∈N^*，
∴a₄=$\frac{{4}^{2}}{{4}^{2}+1}$=$\frac{16}{17}$，a₇=$\frac{{7}^{2}}{{7}^{2}+1}$=$\frac{49}{50}$；
（2）结论：$\frac{9}{10}$是该数列的第3项，$\frac{1}{10}$不是该数列中的项．
理由如下：
假设$\frac{9}{10}$是该数列中的项，则$\frac{9}{10}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，
整理得：n²=9，
解得：n=3或n=-3（舍）；
假设$\frac{1}{10}$是该数列中的项，则$\frac{1}{10}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，
整理得：9n²=1，
解得：n=$\frac{1}{3}$或n=-$\frac{1}{3}$；
综上所述，$\frac{9}{10}$是该数列的第3项，$\frac{1}{10}$不是该数列中的项．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．