题目内容
14.已知函数f(x)=$\sqrt{2}$cos(2x+$\frac{π}{3}$)(x∈R).(1)求f($\frac{3π}{2}$)的值;
(2)已知α(0,π),f($\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$)=$\frac{2}{3}$,求sin(α-$\frac{π}{4}$)的值.
分析 (1)由条件利用诱导公式,求得f($\frac{3π}{2}$)的值.
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得cosα和sinα的值,再利用两角和差的三角公式求得sin(α-$\frac{π}{4}$)的值.
解答 解:(1)由函数f(x)=$\sqrt{2}$cos(2x+$\frac{π}{3}$),可得f($\frac{3π}{2}$)=$\sqrt{2}$cos(3π+$\frac{π}{3}$)=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)∵α(0,π),f($\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{2}$cos(α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{2}$cosα=$\frac{2}{3}$,
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,
sin(α-$\frac{π}{4}$)=sinαcos$\frac{π}{4}$-cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}-2}{6}$.
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差的三角公式,属于基础题.
练习册系列答案
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15.在△ABC中,已知2cosB=$\frac{c}{a}$,则“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的( )
A. | 充要条件 | B. | 充分不必要条件 | ||
C. | 必要不充分条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
3.若f(x+$\frac{1}{x}$)=x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$,则f(x)=( )
A. | x2-2 | B. | x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$ | C. | x2+2 | D. | x2-$\frac{1}{{x}^{2}}$ |
4.下列大小关系正确的是( )
A. | log43<30.4<0.43 | B. | log43<0.43<30.4 | C. | 0.43<30.4<log43 | D. | 0.43<log43<30.4 |