Question

17．设函数f（x）=a²ln x-x²+ax（a＞0）
（1）求f（1）的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[1，e]的每一个值，e-1≤f（x）≤e²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接将x=1代入求出f（1）的值即可，通过求出f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）知f（x）在[1，e]单调递增，结合函数的单调性得到不等式组，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f（1）=a-1，
∵f′（x）=$\frac{-（2x+a）（x-a）}{x}$，x＞0，a＞0，
令f′（x）=0，得x=a，
∴f（x）在（0，a）单调递增，在（a，+∞）单调递减；
（2）∵x∈[1，e]的每一个值，总有e-1≤f（x）≤e²，
∴结合（1）得f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
又由（1）知f（x）在[1，e]单调递增，
∴要使e-1≤f（x）≤e²在[1，e]恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1≥e-1}\\{f（e）{=a}^{2}{-e}^{2}+ae{≤e}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=e，
∴a的范围是：a=e．

点评 本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，第二问中得到f（x）在[1，e]的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题．