题目内容
【题目】在直三校柱
中，
是等直角三角形，
，
，M是AB的中点，且
．
（1）求
的长；
（2）已知点N在棱
上，若平面
与平面
所成锐二面角的平面角的余弦值为
，试确定点N的位置．
【答案】（1）
；（2）N在棱
的中点处．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设
，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于
的方程，解方程即可得答案；
（2）由（1）知
，设
，所以
，
，求出平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量为
，再代入向量的夹角公式，即可得答案；
（1）建立如图所示的空间直角坐标系．
设．
由
得
，
则
，
，
，
，
所以
，
．
因为
，所以
，
解得
，即
的长为．
（2）由（1）知
设，所以，．
设平面的一个法向量为
．
由
，得
，取．
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为
，
．
解得
或
（舍去）
所以N在棱的中点处．
【题目】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） |
|
|
|
|
|
|
|
人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有
的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上（含50岁） | 100 | ||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入硏究，该硏究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为
，则的期望是多少？
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
，其中
．
