题目内容
【题目】已知函数,,且点处取得极值.
(Ⅰ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
(Ⅱ)证明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题(Ⅰ)求导,利用求值;分离常数,构造函数,转化为求函数的值域问题;(Ⅱ)作差构造函数,将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
试题解析:解:(Ⅰ)∵, ∴
∵函数在点处取得极值,
∴,即当时,
∴,则得.经检验符合题意 2分
∵,∴, ∴.
令, 则.
∴当时,随的变化情况表:
1 | (1,2) | 2 | (2,3) | 3 | |
+ | 0 | - | |||
↗ | 极大值 | ↘ |
计算得:,,,
所以的取值范围为. 6分
(Ⅱ)证明:令,
则,
令,则,
函数在递增,在上的零点最多一个
又,,存在唯一的使得, 9分
且当时,;当时,.
即当时,;当时,.
在递减,在递增,从而.
由得即,两边取对数得:,,
,从而证得. 12分
练习册系列答案
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P(K2≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为变量X与Y有关系
B.在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为变量X与Y没有关系
C.在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为变量X与Y有关系
D.在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为变量X与Y没有关系