Question

【题目】已知函数，其中．

（1）若函数在处取得极大值，求实数的值

（2）函数，当时，在处取得最大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出，可求得实数的值，然后将实数的值代入导数，就函数是否在处极大值进行检验，由此可得出实数的值；

（2）求得以及，对实数分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在区间的单调性，结合函数在处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数的取值范围.

（1），，

由题意可得，整理得，解得或.

当时，恒成立，

此时，函数在上单调递增，无极值；

当时，.

令，得；令，得或.

此时，函数在处取得极大值，合乎题意.

综上所述，；

（2），

.

①当时，对任意的恒成立，

此时，函数单调递减，，合乎题意；

②当时，对于函数，恒成立，

设方程的两根分别为、，则，设，则.

（i）若，则当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，，则，即，解得，

此时，解得，则；

（ii）当时，即，得，

则对任意的恒成立，此时，函数在区间上单调递减，

则，合乎题意；

③当时，对任意的，，此时，函数在区间上单调递减，

则，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.