题目内容
【题目】已知函数.
(1)若存在极值,求实数a的取值范围;
(2)设,设
是定义在
上的函数.
(ⅰ)证明:在
上为单调递增函数(
是
的导函数);
(ⅱ)讨论的零点个数.
【答案】(1).(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)答案见解析
【解析】
(1)求导得,按照
、
分类,求得
、
的解集即可得解;
(2)(ⅰ)令,对
求导,按照
、
分类,证明
恒大于0,即可得证;
(ⅱ)由的单调性结合
,按照
、
分类,结合
即可得解.
(1)求导得,
当时,
,
在R上单调递减,
无极值;
当时,
在
单调递减,在
上单调递增,
则在
处有极小值.
综上,实数a的取值范围为;
(2)(ⅰ)证明:由题意,
∵令,
∴,
∵,
当时,
,
,
,
则;
当时,令
,则
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,所以
,
从而有:,而
,
则,则
;
综上,对都有
成立,
故在区间
单调递增;
(ⅱ)由(ⅰ)知,在区间
单调递增且
,
①当时,
,
当时,
则
在
单调递减;
当时,
则
在
单调递增,
则是
的唯一极小值点,且
,
从而可知:当时,
在区间
有唯一零点0;
②当时,有
,
且,
故存在使
,
此时在
单调递减,在
单调递增,
且
,
又,由零点存在定理知:
则在区间
有唯一零点,记作
,
从而可知:当时,
在区间
上有两个零点:0和
;
综上:①当时,
在区间
有唯一零点0;
②当时,
在区间
有两个不同零点.
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