题目内容
已知数列{an}是首项为1,公差为d的等差数列,数列{bn}是首项为1,公比为q(q>1)的等比数列.
(1)若a5=b5,q=3,求数列{an·bn}的前n项和;
(2)若存在正整数k(k≥2),使得ak=bk.试比较an与bn的大小,并说明理由..
(1)若a5=b5,q=3,求数列{an·bn}的前n项和;
(2)若存在正整数k(k≥2),使得ak=bk.试比较an与bn的大小,并说明理由..
(1)Sn=(2)当1<n<k时,an<bn;当n>k时,an>bn;当n=1,k时,an=bn.
审题引导:①等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和;②作差比较.
规范解答:解:(1)依题意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,故d==20,
所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,②
①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n=(29-20n)·3n-29,所以Sn=.(7分)
(2)因为ak=bk,所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,
故an=1+(n-1).又bn=qn-1,(9分)所以bn-an=qn-1-
=[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)
(ⅰ)当1<n<k时,由q>1知
bn-an=[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]
<[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]=-
<0;(13分)
(ⅱ)当n>k时,由q>1知
bn-an=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]
>[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=(q-1)2qk-2(n-k)
>0,(15分)
综上所述,当1<n<k时,an<bn;当n>k时,an>bn;当n=1,k时,an=bn.(16分)
(注:仅给出“1<n<k时,an<bn;n>k时,an>bn”得2分)
错因分析:错位相减时项数容易搞错,作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)
规范解答:解:(1)依题意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,故d==20,
所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,②
①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n=(29-20n)·3n-29,所以Sn=.(7分)
(2)因为ak=bk,所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,
故an=1+(n-1).又bn=qn-1,(9分)所以bn-an=qn-1-
=[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)
(ⅰ)当1<n<k时,由q>1知
bn-an=[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]
<[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]=-
<0;(13分)
(ⅱ)当n>k时,由q>1知
bn-an=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]
>[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=(q-1)2qk-2(n-k)
>0,(15分)
综上所述,当1<n<k时,an<bn;当n>k时,an>bn;当n=1,k时,an=bn.(16分)
(注:仅给出“1<n<k时,an<bn;n>k时,an>bn”得2分)
错因分析:错位相减时项数容易搞错,作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)
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