题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)a2=4.(2)an=n2,n∈N*(3)见解析
(1)解:∵=an+1-n2-n-,n∈N?.
∴当n=1时,2a1=2S1=a2--1-=a2-2.
又a1=1,∴a2=4.
(2)解:∵=an+1-n2-n-,n∈N?.
∴2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1-,①
∴当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-,②
由①-②,得2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1),
∵2an=2Sn-2Sn-1,∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),∴=1,
∴数列是以首项为=1,公差为1的等差数列.
∴=1+1×(n-1)=n,∴an=n2(n≥2),
当n=1时,上式显然成立. ∴an=n2,n∈N*.
(3)证明:由(2)知,an=n2,n∈N*,
①当n=1时,=1<,∴原不等式成立.
②当n=2时,=1+<,∴原不等式成立.
③当n≥3时,∵n2>(n-1)·(n+1),
∴, ∴=
<1+
=1+
=1+
=1+=,
∴当n≥3时,∴原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有.
∴当n=1时,2a1=2S1=a2--1-=a2-2.
又a1=1,∴a2=4.
(2)解:∵=an+1-n2-n-,n∈N?.
∴2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1-,①
∴当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-,②
由①-②,得2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1),
∵2an=2Sn-2Sn-1,∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),∴=1,
∴数列是以首项为=1,公差为1的等差数列.
∴=1+1×(n-1)=n,∴an=n2(n≥2),
当n=1时,上式显然成立. ∴an=n2,n∈N*.
(3)证明:由(2)知,an=n2,n∈N*,
①当n=1时,=1<,∴原不等式成立.
②当n=2时,=1+<,∴原不等式成立.
③当n≥3时,∵n2>(n-1)·(n+1),
∴, ∴=
<1+
=1+
=1+
=1+=,
∴当n≥3时,∴原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有.
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