Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）当时，设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为，进而可得出曲线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可求得的最小值.

（1）将曲线的参数方程变形为，可得，

将曲线的极坐标方程变形为，即，

所以，曲线的直角坐标方程为.

因此，曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；

（2）当时，直线的方程为.

设点，则点到直线的距离为，

其中为锐角，且.

当时，取得最小值.