题目内容
【题目】如图，在三棱柱
侧面
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1)要证平面
平面
，转证
平面AB
，即证
，
；
(2) 以G为坐标原点，以
的方向为x轴正方向，以
的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.分别求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.
(1)如图，设
，连接AG.
因为三棱柱的侧面
为平行四边形，所以G为
的中点，
因为
，
所以
为等腰三角形，所以，
又因为AB⊥侧面，且
平面，
所以
又因为
，
所以平面AB，又因为平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知平面AB，所以B
以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
由B易知四边形为菱形，因为
所以
，
则可得
，
所以
设平面
的法向量
，
由
得：
，取z=1，所以
，
由（1）知=
为平面AB的法向量，
则
易知二面角
的余弦值.
【题目】阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年5 月,在中国乌镇围棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以3 比0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.
为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级 |
|
|
|
|
|
成绩(分) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
人数（名） | 4 | 6 | 10 | 7 | 3 |
(1)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“
或
”的
概率;
(2)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记
表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求 的分布列及其数学期望
；
(3)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率.
【题目】某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：个，
）的函数解析式；
（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，
表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.
