Question

【题目】已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）

（1）求圆O半径r的取值范围；

（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见详解

【解析】

（1）圆的中心是原点，椭圆的短半轴长为，根据圆和椭圆的位置关系分析即得；（2）当圆的切线的斜率存在时，设，圆的切线为，与联立，可得，根据韦达定理和，可得和的关系式，再由圆心到切线的距离等于半径，可得，解出，即得；当切线斜率不存在时，可得上述圆的切线，进而求出切点，验证满足即可，故使得恒成立的圆存在；当切线斜率存在且不等于时，则有，由韦达定理和基本不等式可得的最大值，当切线斜率不存在或等于时，可知的值，选两者中的最大值，再由，计算即得.

（1）当时，圆在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当时，圆的切线和都和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；

故的取值范围是.

（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为，设，由消去得：，则，，则，由得，即，，又由与圆相切得，即，解得，此时圆的方程为.

当切线斜率不存在时，上述圆的切线为或，这两条切线与椭圆的交点为，或，，也满足，故满足条件的圆存在，其方程为.

当切线斜率存在且不等于时，因为，当且仅当时取等号；

当切线斜率不存在或等于时，，则，又，故，则.