题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1){x|x≤-1或x=1};(2);(3).
【解析】试题分析:(1)把代入函数解析式,分段后分段求解方程的解集,取并集后得答案;(2)分段写出函数的解析式,由在上单调递增,则需第一段二次函数的对称轴小于等于,第二段一次函数的一次项系数大于0,且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值,联立不等式组后求解的取值范围;(3)把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立,然后对进行分类讨论,利用函数单调性求得的范围,取并集后得答案.
试题解析:(1)当时, ,则;当时,由,得,解得或;当时, 恒成立,∴方程的解集为或.
(2)由题意知,若在R上单调递增,则解得,∴实数的取值范围为.
(3)设,则,不等式对任意恒成立,等价于不等式对任意恒成立.
①若,则,即,取,此时,∴,即对任意的,总能找到,使得,∴不存在,使得恒成立.
②若,则,∴的值域为,∴恒成立③若,当时, 单调递减,其值域为,由于,所以恒成立,当时,由,知, 在处取得最小值,令,得,又,∴,综上, .
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