题目内容

【题目】已知函数f(x)x2(x1)|xa|.

(1)a=-1,解方程f(x)1

(2)若函数f(x)R上单调递增,求实数a的取值范围;

(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x3对任意xR恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】(1){x|x1x1};(2;(3

【解析】试题分析:1)把代入函数解析式,分段后分段求解方程的解集,取并集后得答案;(2)分段写出函数的解析式,由上单调递增,则需第一段二次函数的对称轴小于等于,第二段一次函数的一次项系数大于0,且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值,联立不等式组后求解的取值范围;(3)把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立,然后对进行分类讨论,利用函数单调性求得的范围,取并集后得答案.

试题解析:(1)时, ;当时,由,得,解得时, 恒成立,∴方程的解集为

(2)由题意知,若R上单调递增,则解得∴实数的取值范围为.

(3),不等式对任意恒成立,等价于不等式对任意恒成立.

①若,则,即,此时即对任意的,总能找到,使得∴不存在,使得恒成立.

②若,则的值域为恒成立③若,当时, 单调递减,其值域为由于,所以恒成立,当时,由,知 处取得最小值,令,得,又综上,

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