题目内容
【题目】如图，已知椭圆
：
的离心率为
，过左焦点
且斜率为
的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，直线
：
交椭圆于
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：点在直线上；
（3）是否存在实数，使得
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）详见解析（3）存在，且
【解析】
（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得
的值，进而求得椭圆
的方程.（2）写出直线
的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点
的坐标，将坐标代入直线
的方程，满足方程，由此证得点在直线上.（3）由（2）知
到的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到是
的中点，设出
点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点的坐标，并由此求得
的值.
解：(1) 解：由
，解得
，
所以所求椭圆的标准方程为
（2）设
，
，
，
，消
得，
，
解得
将代入到
中，满足方程
所以点在直线上.
（3）由（2）知到的距离相等，
若
的面积是
面积的3倍，得
，
有
，
∴是的中点，
设
，则
，
联立
，解得
，
于是
解得
，所以.
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