题目内容
【题目】某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为14万元/辆,年销售量为辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为
(0<
<1),则出厂价相应提高的比例为0.6
,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为0.5,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例
应在什么范围内?
(2)若年销售量关于的函数为
为常数),则当
为何值时,本年度的年利润最大?
【答案】(1);
(2)
【解析】
(1)首先表示出本年度的年利润,根据原题中已知的年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量可表示出来.然后列出不等式得到x的取值范围;
(2)根据题意,要使本年度的年利润最大,首先表示出本年度年利润的函数表达式,然后求出此函数的导数为零时x的值,由此判断出函数的单调性,可知此时的x值对应的函数值是函数的最大值.
解:(1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为,
出厂价为,年销售量为
,
则本年度的利润为:
由
得,即所求
的范围为
;
(2)本年度的利润为
,
则,
由,解得
或
,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
当
时,本年度的年利润最大.
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