题目内容
【题目】关于函数,下列说法正确的是______(填上所有正确命题序号).(1)
是
的极大值点 ;(2)函数
有且只有1个零点;(3)存在正实数
,使得
恒成立 ;(4)对任意两个正实数
,且
,若
,则
.
【答案】(2)(4)
【解析】
利用导数求得函数的单调性与极值(最值),即可判定(1)(4),构造新函数,求得新函数的单调性,即可判定(2),由
,可得
,令
,取得函数的
的单调性与最值,即可判定(3),得到答案..
由题意,函数,则
,
可得函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以当时,函数
取得极小值,所以(1)不正确;
由函数,所以
,
可得函数在区间
上单调递减,
当时,
,当
时,
,所以函数
有且只有1个零点,所以(2)正确;
由,可得
,令
,则
,
令,则
,
所以当时,
单调递减,
当时,
单调递增,所以
,所以
,
所以在
上单调递减,函数无最小值,
所以不存在正整数,使得
恒成立,所以(3)不正确;
对于任意两正实数,且
,
由(1)可知函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
若,则
,所以(4)正确.
证明如下:不妨设 ,则
,
由
令,则
,
原式,则
,
所以在
上是减函数,
所以,所以
,
又因为在
上单调递增,所以
,故
。
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练习册系列答案
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