Question

【题目】某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本85元；小箱每箱30瓶，批发成本65元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为（45，55]时看作销量为50瓶）．

（1）设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列；

（2）从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？（必须作出一种合理的选择）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）早餐店应该批发一小箱.

【解析】

（1）先由频率分布直方图求出各销量对应的概率，然后分别列出随机变量X和Y可能的取值及其概率；

（2）先算出随机变量X和Y的数学期望，发现期望值相同，然后再算出其方差，方差越小越稳定越好.

（1）若早餐店批发一大箱，批发成本为85元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．

当销量为20瓶时，利润为5×20﹣85＝15元，

当销量为30瓶时，利润为5×30﹣85＝65元，

当销量为40瓶时，利润为5×40﹣85＝115元，

当销量为50瓶时，利润为5×50﹣85＝165元．

随机变量X的分布列为：

X	15	65	115	165
P	0.3	0.4	0.2	0.1

若早餐店批发一小箱，批发成本为65元，依题意，销量有20，30两种情况．

当销量为20瓶时，利润为5×20﹣65＝35元，

当销量为30瓶时，利润为5×30﹣65＝85元．

随机变量Y的分布列为：

Y	35	85
P	0.3	0.7

（2）根据（1）中的计算结果，所以E（X）＝15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1＝70（元），

所以E（Y）＝35×0.3+85×0.7＝70（元）．E（X）＝E（Y），

D（X）=,

D（Y）= ，所以D（X）>D（Y）.

所以早餐店应该批发一小箱．