题目内容
【题目】已知
.
（1）求
的单调递减区间；
（2）证明：当
时， 
恒成立.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）求出
，分四种情况讨论
的范围，在定义域内，分别令
求得
的范围，可得函数
增区间， 
求得
的范围，可得函数
的减区间；（2）令
，利用导数研究函数的单调性可得
时， 
， 
时， 
，∴
时， 
，从而可得结论.
试题解析：（1）易得
定义域为
，
，解
得
或
.
当
时，∵
，∴
，
解
得
，∴
的单调递减区间为
；
当
时，
i.若
，即
时， 
时， 
，
时， 
， 
时， 
，
∴
的单调递减区间为
；
ii.若
，即
时， 
时， 
恒成立，
没有单调递减区间；
iii.若
，即
时， 
时， 
； 
时， 
，
时， 
，∴
的单调递减区间为
.
综上： 
时，单调递减区间为
； 
时，单调递减区间为
；
时，无单调递减区间； 
时，单调递减区间为
.
（2）令
，
则
.
令
， 
，
时， 
， 
时， 
，
∴
时， 
，即
时， 
恒成立.
解
得
或
， 
时， 
， 
时，
，∴
时， 
，得证.
【题目】随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在［25,30),[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（II）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．
