题目内容
【题目】已知,
为常数,函数
.
(1)当时,求关于
的不等式
的解集;
(2)当时,若函数
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)对于给定的,且
,
,证明:关于
的方程
在区间
内有一个实数根.
【答案】(1)当时,不等式
的解集为
或
;当
时,不等式
的解集为
;当
时,不等式
的解集为
或
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)当时,
,分
,
,
三种情况讨论,求不等式
的解集;
(2)当时,
,其图象的对称轴为
.分
,
,
三种情况讨论,即求实数
的取值范围;
(3)设.由
,得
.对于给定的
,且
,
,得
在区间
上单调,故
在区间
上有且只有一个零点,即方程
在区间
内有一个实数根.
(1)当时,
.
当,即
时,由
得
或
,
不等式
的解集为
或
.
当,即
时,
恒成立,
不等式
的解集为
.
当,即
时,由
得
或
,
不等式
的解集为
或
.
综上,当时,不等式
的解集为
或
;
当时,不等式
的解集为
;
当时,不等式
的解集为
或
.
(2)当时,
,其图象的对称轴为
.
当,即
时,
在
上单调递增,
在
上存在零点,
,即得
.
.
当,即
时,
在
上存在零点,
或
或
或
,
解得或
或
或
或
.
.
当,即
时,
在
上单调递减,
在
上存在零点,
,即得
.
.
综上,.
实数
的取值范围为
.
(3)设.
当给定时,
为定值.
,
.
又对于给定的,且
,
,
在区间
上单调,即
在区间
上单调,
在区间
上有且只有一个零点,
即方程在区间
内有一个实数根.
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