题目内容
已知数列中,
,设
.
(Ⅰ)试写出数列的前三项;
(Ⅱ)求证:数列是等比数列,并求数列
的通项公式
;
(Ⅲ)设的前
项和为
,求证:
.
(Ⅰ),
,
;(Ⅱ)证明见试题解析,
;(Ⅲ)证明见试题解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由递推公式求出,再利用
可直接求出
;(Ⅱ)要证数列
是等比数列,可由数列
的递推关系
建立起
与
的关系.
,从而证得数列
是等比数列. 然后选求出
,由
可求出
;(Ⅲ)本题最好是能求出
,但由数列
的通项公式可知
不可求,结合结论是不等式形式可以用放缩法使得和
可求,
(等号只在
时取得),然后求和,即可证得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,得
,
.
由,可得
,
,
. 3分
(Ⅱ)证明:因,故
. 5分
显然,因此数列
是以
为首项,以2为公比的等比数列,即
. 7分
解得. 8分
(Ⅲ)因为(当且仅当
时取等号) 12分
故 14分
考点:(1)数列的项;(2)等比数列的定义;(3)放缩法.

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