Question

11．已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形．PA⊥AB，PA⊥AC，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）证明：BC⊥面PAB；
（2）求证：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥AB，PA⊥AC，可证PA⊥平面ABC，即可证明PA⊥BC，再证明AB⊥BC，即可证明BC⊥平面PAB．
（2）取DC的中点Q，连接QN，QM，可证AB⊥NQ，AB⊥QM，即证明AB⊥平面NMQ，从而可证明AB⊥MN．

解答 解：（1）∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形．
∴AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）取DC的中点Q，连接QN，QM，
∵M，N分别是AB，PC的中点．
∴QN∥PD，QM∥DA，
∵PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
∴AB⊥NQ，AB⊥QM，
∵NQ∩QM=Q，
∴AB⊥平面NMQ，
∵MN?平面NMQ，
∴AB⊥MN．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．