题目内容

19.在数列{an}中,an>0,Sn是它的前n项和,且2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1,求an和Sn

分析 由2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1,可得4Sn=$({a}_{n}+1)^{2}$,利用递推关系可得:化为(an+an-1)(an-an-1-2)=0,再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.

解答 解:∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1,
∴4Sn=$({a}_{n}+1)^{2}$,
∴当n=1时,4a1=$({a}_{1}+1)^{2}$,解得a1=1.
当n≥2时,$4{S}_{n-1}=({a}_{n-1}+1)^{2}$,
∴4an=$({a}_{n}+1)^{2}$-$({a}_{n-1}+1)^{2}$,
化为(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,∴an-an-1=2.
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∴Sn=$\frac{n(1+2n-1)}{2}$=n2

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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