题目内容
已知椭圆
＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
（1）
（2）
（2）(1)直线AM的斜率为1时，直线AM为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0，解之得x1＝－2，x2＝－
，∴点M的坐标为.
(2)设直线AM的斜率为k，则AM为y＝k(x＋2)，
则
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
∵此方程有一根为－2，∴xM＝
，同理可得xN＝
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
∵kMP＝
，
同理可计算得kPN＝
.∴直线MN过x轴上的一定点P
，∴点M的坐标为.(2)设直线AM的斜率为k，则AM为y＝k(x＋2)，
则
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.∵此方程有一根为－2，∴xM＝
，同理可得xN＝由(1)知若存在定点，则此点必为P
.∵kMP＝
，同理可计算得kPN＝
.∴直线MN过x轴上的一定点P
练习册系列答案
相关题目
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
的方程；
与椭圆
相交于
、
两点， 
为原点，在
、
点的点
、
，使得
在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．
的左、右焦点分别为
、
， 焦距为2，过
为3 
交椭圆于A、B两点，判断是否存在直线
为钝角，若存在，求出直线
的取值范围
的中心在原点、焦点在
轴上，抛物线
的顶点在原点、焦点在
.由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆
，0)与定直线l1∶x＝
的距离之比为常数
.
·
的最小值，并求此时圆T的方程．
＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足
＋
≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．
是椭圆
上的点，
分别是椭圆的左、右焦点，若
，则
的面积为( )
