题目内容

【题目】设某物体一天中的温度T是时间t的函数,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时,规定中午12:00相应的t=0,中午12:00以后相应的t取正数,中午12:00以前相应的t取负数(例如早上8:00对应的t=﹣4,下午16:00相应的t=4),若测得该物体在中午12:00的温度为60℃,在下午13:00的温度为58℃,且已知该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式;
(2)该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多少?

【答案】
(1)解:由题意可得,T′(t)=3t2+2at+b,当t=0时,T(t)=60;

当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),

故有c=60,1+a+b+c=58,3(﹣4)2+2a(﹣4)+b=342+2a4+b,

解得a=0,b=﹣3,c=0,∴T(t)=t3 ﹣3t+60,(﹣12≤t≤12)


(2)解:该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点),即﹣2≤t≤2,T′(t)=3t2﹣3,

故当t∈[﹣2,﹣1)、(1,2]时,T′(t)=3t2﹣3>0,函数单调递增;故当t∈[﹣1,1]时,T′(t)=3t2﹣3≤0,函数单调递减,

故当t=﹣1时,函数取得极大值为T(﹣1)=64,而区间[﹣2,2]的端点值T(﹣2)=58,T(2)=62,

故函数T(t)=t3+at2+bt+c在区间[﹣2,2]上的最大值为64,

故上午11点温度最高为64°


【解析】(1)由题意可得当t=0时,T(t)=60;当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),由此求得待定系数a、b、c的值,可得函数的解析式.(2)利用导数研究函数的单调性,由单调性求得函数的最大值,从而得出结论.

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