Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．
①f（﹣1）=；
②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】①﹣1；②（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【解析】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，

当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，

f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；

②若f（x）的值域是R，

由f（x）的图象关于原点对称，可得

当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，

图象与x轴有交点，

可得△=a2﹣4a≥0，

解得a≥4或a≤0，

即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

所以答案是：①﹣1； ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

【考点精析】掌握函数奇偶性的性质和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．