题目内容
3.在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,S是△ABC的面积,且4$\sqrt{3}$S=a2+b2+c2.(1)判断△ABC的形状;
(2)求函数f(x)=$\frac{1}{2}$cosC•sin2x+sinCcos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上的值域.
分析 (1)根据4$\sqrt{3}$S=a2+b2+c2,利用三角形的面积公式,求出C,可得a=b,即可判断△ABC的形状;
(2)先化简函数,再求出函数在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上的值域.
解答 解:(1)∵4$\sqrt{3}$S=a2+b2+c2,
∴4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$absinC=a2+b2+a2+b2-2abcosC,
∴2absin(C+$\frac{π}{6}$)=a2+b2≥2ab,
∴sin(C+$\frac{π}{6}$)≥1,
∴sin(C+$\frac{π}{6}$)=1
∵C+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$),
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,
∴C=$\frac{π}{3}$,
代入可得2ab=a2+b2,∴a=b,
∴△ABC为等边三角形;
(2)f(x)=$\frac{1}{4}$•sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$),
∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{4π}{3}$],
∴sin(2x+$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
∴$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{1}{2}$],
即函数的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{1}{2}$].
点评 本题考查余弦定理,考查三角形面积的计算,考查三角函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
A. | $\frac{14\sqrt{3}+4\sqrt{21}}{3}$ | B. | 7$\sqrt{3}$+4 | C. | $\sqrt{3}$+4$\sqrt{7}$ | D. | 7+4$\sqrt{7}$ |