Question

15．设函数f（x）=log₂[（|x|-m）²-3（|x|-m）+2]（m＞-1）
（1）讨论函数在定义域上的单调性；
（2）当m＞0时，求满足f（x）＞f（1）的x集合（用区间表示）．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的定义域可得（|x|-m-1）（|x|-m-2）＞0，运用奇偶函数的单调性可得定义域；
（2）由当x∈（2+m，+∞）时，f（t）=f（1），求得t=2m+2，由函数的单调性和奇偶性，即可得到解集．

解答 解：（1）由函数f（x）=log₂[（|x|-m）²-3（|x|-m）+2]=log₂（|x|-m-1）（|x|-m-2）（m＞-1），
可得t=（|x|-m-1）（|x|-m-2）＞0，∴|x|＞m+2或|x|＜m+1，
∴x＞m+2或x＜-m-2 或-m-1＜x＜m+1．
当0＜x＜m+1时，t为x的减函数，f（x）为（0，m+1）的减函数，
当x＞m+2时，t为x的增函数，f（x）为（m+2，+∞）的增函数，
由偶函数的性质可得，f（x）在（-∞，-m-2），（0，m+1）为减函数，
在（-m-1，0），（m+2，+∞）上为增函数；
（2）当m＞0时，f（1）=log₂m（m+1），
当x∈（2+m，+∞）时，f（t）=f（1），即有（t-m-1）（t-m-2）=m（m+1），
解得t=2m+2，
由f（x）在（0，m+1）递减，（m+2，+∞）递增，
f（x）＞f（1），可得x∈（0，1）或x∈（2m+2，+∞），
由f（x）为偶函数，f（x）＞f（1）可得x∈（-1，0）或x∈（-∞，-2m-2），
综上可得，满足f（x）＞f（1）的x集合为
（-∞，-2m-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2m+2，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：讨论定义域和解不等式，主要考查复合函数的单调性和不等式的解法，属于中档题．