题目内容
8.设A(7,1),B(1,5),P(7,14)为坐标平面上三点,O为坐标原点,点M为线段OP上的一个动点.(1)求向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值;
(2)当$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值时,求点M的坐标;
(3)当点M满足(2)的条件和结论时,求cos∠AMB的值.
分析 (1)M为线段OP上一个动点,从而设M(x,2x),0≤x≤7,根据投影公式求得$\overrightarrow{MA}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为$-\frac{(x+19)\sqrt{13}}{13}$,根据x的范围从而求出投影的最小值;
(2)写出$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$的坐标,从而求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=5{x}^{2}-20x+12$,配方根据x的范围即可得到x=2时,$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取到最小值,从而得出M点坐标为(2,4);
(3)x=2时,写出$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$的坐标,根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$.
解答 解:(1)根据条件设M(x,2x),0≤x≤7,$\overrightarrow{MA}=(7-x,1-2x)$,$\overrightarrow{AB}=(-6,4)$;
∴$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为:$|\overrightarrow{MA}|cos<\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AB}>$=$|\overrightarrow{MA}|\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{-6(7-x)+4(1-2x)}{2\sqrt{13}}$=$-\frac{(x+19)\sqrt{13}}{13}$;
∴x=7时,$-\frac{(x+19)\sqrt{13}}{13}$取最小值$-2\sqrt{13}$;
∴向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值为$-2\sqrt{13}$;
(2)$\overrightarrow{MB}=(1-x,5-2x)$;
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=(7-x)(1-x)+(1-2x)(5-2x)$=5x2-20x+12=5(x-2)2-8;
∴x=2时,$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值-8;
此时M(2,4);
(3)$\overrightarrow{MA}=(5,-3),\overrightarrow{MB}=(-1,1)$;
∴$cos∠AMB=\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}=\frac{-8}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=$-\frac{4\sqrt{17}}{17}$.
点评 考查一个向量在另一向量方向上投影的定义及计算公式,根据点的坐标求向量的坐标,向量数量积的坐标运算,配方求最值的方法,以及向量夹角余弦的坐标公式.
A. | $\sqrt{3}$ | B. | ±$\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | ±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |