Question

8．设A（7，1），B（1，5），P（7，14）为坐标平面上三点，O为坐标原点，点M为线段OP上的一个动点．
（1）求向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值；
（2）当$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值时，求点M的坐标；
（3）当点M满足（2）的条件和结论时，求cos∠AMB的值．

Answer 1

分析 （1）M为线段OP上一个动点，从而设M（x，2x），0≤x≤7，根据投影公式求得$\overrightarrow{MA}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$，根据x的范围从而求出投影的最小值；
（2）写出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐标，从而求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=5{x}^{2}-20x+12$，配方根据x的范围即可得到x=2时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取到最小值，从而得出M点坐标为（2，4）；
（3）x=2时，写出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$．

解答 解：（1）根据条件设M（x，2x），0≤x≤7，$\overrightarrow{MA}=（7-x，1-2x）$，$\overrightarrow{AB}=（-6，4）$；
∴$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为：$|\overrightarrow{MA}|cos＜\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{AB}＞$=$|\overrightarrow{MA}|\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{-6（7-x）+4（1-2x）}{2\sqrt{13}}$=$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$；
∴x=7时，$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$取最小值$-2\sqrt{13}$；
∴向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值为$-2\sqrt{13}$；
（2）$\overrightarrow{MB}=（1-x，5-2x）$；
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（7-x）（1-x）+（1-2x）（5-2x）$=5x²-20x+12=5（x-2）²-8；
∴x=2时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值-8；
此时M（2，4）；
（3）$\overrightarrow{MA}=（5，-3），\overrightarrow{MB}=（-1，1）$；
∴$cos∠AMB=\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}=\frac{-8}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=$-\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 考查一个向量在另一向量方向上投影的定义及计算公式，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，配方求最值的方法，以及向量夹角余弦的坐标公式．