Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}-3，x＞0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x²+2x+$\frac{1}{2}$）=m有4个不同的实数根，则m的取值范围是（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．

Answer 1

分析 令t=x²+2x+$\frac{1}{2}$，则f（t）=m，作出函数f（x）的图象，结合二次方程的判别式的符号，即可判断实根的个数．

解答 解：令t=x²+2x+$\frac{1}{2}$，
则f（t）=m，
由图象可得，当m＜-1时，t有一解；
当m=-1时，t有两解；
当-1＜m≤0时，t有三解；
当m＞0时，t有两解．
当m＜-1时，t=x²+2x+$\frac{1}{2}$最多两个根；
当m=-1时，t=±1即x²+2x+$\frac{1}{2}$=±1，方程有两个实根；
当-1＜m≤0时，-1＜t＜1，当-1＜t≤$-\frac{1}{2}$，判别式小于等于0，最多一解，有四个根；
当-$\frac{1}{2}$＜t≤0时，判别式大于0，有六个根；
当m＞0时，即有t＞0，t=x²+2x+$\frac{1}{2}$有四个不同的实根，
综上可得m的范围是（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．
故答案为：（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的判断，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．