题目内容

在平面内,设到定点F(0,2)和轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C,直线过点F,交曲线C于M,N两点。
(1)说明曲线C的形状,并画出图形;
(2)求线段MN长度的范围。
曲线C是焦点在F(0,2),准线分别为
顶点分别是(0,-1)和(0,3)的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD
解:(1)设动点,由已知得:
   1分
时,
化简得:
时,
化简得:   3分
如图:曲线C是焦点在F(0,2),准线分别为
顶点分别是(0,-1)和(0,3)的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD

……6分
(2)当M、N在两支抛物线上时,过M、N分别作相应准线的垂线,垂足分别是M1、N1,由抛物线定义,MM1=MF;NN1=NF,
设M、N的纵坐标分别为
过BD时,|MN|最小,最小值为4,
过C(或A)时,|MN|最大,
此时直线的方程为和抛物线
另一个交点,|MN|最大值为
|MN|范围是   10分
当M、N都在上支抛物线上时,易求|MN|范围也是
由上综述:|MN|范围是   13分
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