Question

【题目】已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）= 给出下列结论：
①函数f（x）的值域为（0，8]；
②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；
③存在k∈（ ， ），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”
其中正确命题的序号是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①当1≤x＜2时，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]，
②∵f（1）=8，∴f（2n）= f（2n﹣1）= f（2n﹣2）= f（2n﹣3）=…= f（20）= f（1）= ×8=23﹣n ， 故②正确，③当x≥2时，f（x）= f（ ）∈0，4]，故函数f（x）的值域为（0，8]；故①正确，当2≤x＜4时，1≤ ＜2，则f（x）= f（ ）= [﹣8（ ﹣1）2+8]=﹣4（ ﹣1）2+4，当4≤x＜8时，2≤ ＜4，则f（x）= f（ ）= [﹣4（ ﹣1）2+4]=﹣2（ ﹣1）2+2，作出函数f（x）的图象如图：作出y= x和y= x的图象如图，当k∈（ ， ），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有3个公共点；故③错误，④由分段函数的表达式得当x∈（2n ， 2n+1）时，函数f（x）在（2n ， 2n+1）上为单调递减函数，则函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”为真命题，故④正确，故选：C

【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案．