题目内容

【题目】已知a>0,b>0,且a2+b2= ,若a+b≤m恒成立, (Ⅰ)求m的最小值;
(Ⅱ)若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a2+b2= ,∴9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2
∴a+b≤3,(当且仅当 ,即 时取等号)
又∵a+b≤m恒成立,∴m≥3.
故m的最小值为3.
(Ⅱ)要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立,须且只须2|x﹣1|+|x|≥3.


【解析】(Ⅰ)变形已知表达式,利用柯西不等式,求出a+b的最大值,即可求m的最小值;(Ⅱ)通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,结合(Ⅰ)的结果,利用x的范围分类讨论,求出实数x的取值范围.

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