题目内容
14．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），P为椭圆M上任意一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则该椭圆的离心率的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．分析 通过设出点P的坐标可表示出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a2-c2-$\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}}$，从而$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$取到最大值a2-c2，进而可求出离心率的取值范围．
解答 解：由题意，设点P为（x，y），
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴x2=$\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{y}^{2}）}{{b}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x2-c2+y2
=$\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{y}^{2}）}{{b}^{2}}$-c2+y2
=a2-c2-$\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴当y=0时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$取到最大值a2-c2，
即c2≤a2-c2≤3c2，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤2c，
∴$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆m的离心率e的取值范围是：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
点评 本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
| A． | 24个 | B． | 27个 | C． | 50个 | D． | 125个 |
| A． | 命题“$a＞b\;，\;则\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”的逆命题是真命题 | |
| B． | 对于函数y=f（x），x∈R“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的充要条件 | |
| C． | 线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点 | |
| D． | 命题“$?{x_0}∈R\;，\;x_0^2-{x_0}＞0$”的否定是“?x∈R，x2-x≤0” |
| A． | 所有的实数x都能使x+$\frac{1}{x}$≥2成立 | |
| B． | 存在一个实数x使不等式x2-2x+3＜0成立 | |
| C． | 如果x、y 是实数，那么“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充分但不必要条件 | |
| D． | 命题甲：“a、b、c”成等差数列”是命题乙：“$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$=2”的充要条件 |