Question

6．若0≤x≤1时，不等式1-mx≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-nx恒成立，求m，n的取值范围．

Answer 1

分析 讨论当x=0时，原不等式恒成立，当0＜x≤1时，原不等式即为-m≤$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$≤-n，$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$的几何意义是点（0，1）与点（x，$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）两点的斜率，由恒成立思想即可得到所求范围．

解答 解：当x=0时，原不等式即为1≤1≤1显然成立；
当0＜x≤1时，原不等式即为-m≤$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$≤-n，
$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$的几何意义是点（0，1）与点（x，$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）两点的斜率，
由于（0，1）在函数y=$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$的图象上，且区间（0，1]为减区间．
则（0，1）与（1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
且在（0，1]恒有斜率不大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
即有-n≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，-m≤0，
则为m≥0，n≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查两点的斜率的运用，考查运算能力，属于中档题．