题目内容
已知曲线C: 
, 过点Q
作C的切线
, 切点为P.
(1) 求证：不论
怎样变化, 点P总在一条定直线上;
(2) 若
, 过点P且与垂直的直线与
轴交于点T, 求
的最小值(O为原点).
, 过点Q作C的切线, 切点为P.(1) 求证：不论
怎样变化, 点P总在一条定直线上;(2) 若
, 过点P且与垂直的直线与轴交于点T, 求的最小值(O为原点).(2)
(1)设Ｐ点坐标为
,则
由
则以Ｐ点为切点的
切线斜率为
若
则
不符合题意.
∵切线过点, ∴斜率为
．
∴
, ∴
, ∴切点Ｐ总在直线
上.
(2) 解法一: ∵l的斜率为
，∴ＰＴ的斜率为
，
∴ＰＴ的方程为
.
令
,得ＰＴ与x轴交点的横坐标为
.
在(1)中,, 又
∴
. ∴
∴
(当且仅当
, 即
时等号成立). ∴的最小值为.
解法二：直线l的斜率为
, 则垂线斜率为
，
垂线方程为
.
令, 解得与x轴的交点T的横坐标为
当且仅当3
，即
时, 等号成立.∴的最小值为.
,则由则以Ｐ点为切点的切线斜率为
若则不符合题意.∵切线过点
, ∴斜率为．∴
, ∴, ∴切点Ｐ总在直线上.(2) 解法一: ∵l的斜率为
，∴ＰＴ的斜率为，∴ＰＴ的方程为
.令
,得ＰＴ与x轴交点的横坐标为.在(1)中,
, 又∴. ∴∴
(当且仅当
, 即时等号成立). ∴的最小值为.解法二：直线l的斜率为
, 则垂线斜率为，垂线方程为
.令
, 解得与x轴的交点T的横坐标为当且仅当3
，即时, 等号成立.∴的最小值为.
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，
.
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