题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆E:
(
)的长轴长为4,左准线l的方程为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线过椭圆E的左焦点
,且与椭圆E交于A,B两点.
①若,求直线
的方程;
②过A作左准线l的垂线,垂足为,点
,求证:
,B,G三点共线.
【答案】(1)(2)①
或
,②证明见解析
【解析】
(1)根据长轴的值和准线的方程,可求得,
的值,结合
,从而可求出椭圆的标准方程;
(2)①设,
,作
,根据椭圆的第二定义可得
,结合
,可推出
,从而推出
,根据
,可得
,分别对直线
的斜率存在与不存在进行讨论,结合韦达定理即可求得直线
的方程;
②当直线的斜率不存在时,分别求出
,
,即可得证;当直线
的斜率存在时,分别求出
,
,结合韦达定理即可求证.
(1)由题,,
,∴
,
∴,椭圆方程
.
(2)①设,
作,由第二定义,
,而
∴,同理
∴,即
,②证明见解析
设的斜率为k
1°若k不存在,即(舍)
2°若k存在,:
联立
消去y,(*),
恒成立
∴,即
,∴
:
或
②证明1°若的斜率不存在,
,
,
,
,
,
∴,B,G三点共线.
2°若的斜率存在,
,
,
要证,B,G共线.即证
,即
,即
即,即
由(*),
代入上式:,即
显然成立。
∴,B,G三点共线.
综上所述,,B,G三点共线.
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