题目内容
【题目】如图,三棱锥中,
平面
,
,
。
分别为线段
上的点,且
。
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值。
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)要证线面垂直,就是要证线线垂直,题中由平面
,可知
,再分析已知由
得
,这样与
垂直的两条直线都已找到,从而可得线面垂直;(2)求二面角的大小,可心根据定义作出二面角的平面角,求出这个平面角的大小,本题中,由于
,
平面
,因此
两两垂直,可以他们为
轴建立空间直角坐标系,写出图中各点的坐标,求出平面
和平面
的法向量
,向量
的夹角与二面角相等或互补,由此可得结论.
试题解析:(1)证明:由PC平面ABC,DE
平面ABC,故PC
DE
由CE=2,CD=DE=得
CDE为等腰直角三角形,故CD
DE
由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE
平面PCD
(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,
DCE=
,如(19)图,过点D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,
故FB=2.
由ACB=
得DF
AC,
,故AC=
DF=
.
以C为坐标原点,分别以的方程为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(
,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),
设平面的法向量
,
由,
,
得.
由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量
可取为
,即
.
从而法向量,
的夹角的余弦值为
,
故所求二面角A-PD-C的余弦值为.
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