题目内容

【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.

(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

【答案】
(1)证明:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, ),F( ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.
(2)解:在图中,设平面BFC的一个法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( ,0), =(0, ),

得其中一个 =(1,﹣ ,1),

设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则

cosθ=|cos< >|=| |=

因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值为


【解析】(1)以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到E、F、B、C点的坐标,易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)设平面BFC的一个法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依题意,可求得一个 =(1,﹣ ,1),设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,可求得sinθ的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行.

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