题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
,
.过
的平面交
于点
,交
于点
.
(l)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:四边形为平行四边形;
(Ⅲ)若是,求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由线面垂直的性质 可得,由菱形的性质可得
.从而由线面垂直的判定定理可得
平面
;(Ⅱ)先证明
平面
,再根据线面平行的性质可得
,根据面面平行的性质可得
,从而得四边形
为平行四边形;(Ⅲ)在平面
内,过
作
.因为
平面
,所以,以
为轴建立空间直角坐标系,可知平面
的法向量为
,根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)因为 平面
,所以
.
因为 三棱柱中,
,所以 四边形
为菱形,
所以 .
与
在平面
内相交.
所以 平面
.
(Ⅱ)因为 ,
平面
,所以
平面
.
因为 平面平面
,所以
.
因为 平面平面
,
平面平面
,平面
平面
,
所以 .
所以 四边形为平行四边形.
(Ⅲ)在平面内,过
作
.
因为 平面
,
如图建立空间直角坐标系.
由题意得, ,
,
,
,
.
因为 ,所以
,
所以 .
由(Ⅰ)得平面的法向量为
.
设平面的法向量为
,
则 即
令,则
,
,所以
.
所以 .
由图知 二面角的平面角是锐角,
所以 二面角的大小为
.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的性质、面面平行的直线以及利用空间向量求二面角,属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.

【题目】某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数(Air Pollution Index)的监测数据,结果统计如下:
大于300 | |||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天数 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有7天为重度污染,完成下面列联表,并判断能否有
的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当在区间
时企业正常生产;当
在区间
时对企业限产
(即关闭
的产能),当
在区间
时对企业限产
,当
在300以上时对企业限产
,企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可得利润2万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
①在这一年中随意抽取5天,求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率;
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值.