Question

【题目】在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．

求证：是等比数列；

设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），；

【解析】

试题（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；

试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①

由，，成等差数列可得，， ②

①+②得，，

所以是以6为首项、为公比的等比数列．

（2）由（1）知，，③ ①-②得，，④

③④得，，

代入，得，

所以，

整理得，，所以，

由是不超过100的正整数，可得，所以或，

当时，，此时，则，符合题意；

当时，，此时，则，符合题意．

故使成立的所有数对为，．