Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

（Ⅲ）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60°；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）推导出，，，从而平面，进而，由此能证明平面；

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小为；

（Ⅲ）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．

解：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

平面，，．

，，，

，平面，

平面，，

，平面．

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，2，，，0，，

，0，，，，，

设异面直线与所成角为，

则，．

异面直线与所成角的大小为．

（Ⅲ）解：，2，，，0，，，0，，

，0，，，0，，，2，，

，2，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

点在线段上，且，点在线段上，

设，，，，，，，

则，，，

即，0，，，，，，，，，

解得，0，，，，，，，，

平面，，

解得：．

∴的值为．