题目内容

【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:∵函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数

∴f(﹣x)=log4(4x+1)﹣kx)=log4 )﹣kx=log4(4x+1)+kx(k∈R)恒成立

∴﹣(k+1)=k,则k=


(2)解:g(x)=log4(a2x a),

函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即

方程f(x)=g(x)只有一个解

由已知得log4(4x+1) x=log4(a2x a),

∴log4 )=log4(a2x a),

方程等价于

设2x=t,t>0,则(a﹣1)t2 ﹣1=0有一解

若a﹣1>0,设h(t)=(a﹣1)t2 ﹣1,

∵h(0)=﹣1<0,∴恰好有一正解

∴a>1满足题意

若a﹣1=0,即a=1时,h(t)=﹣ ﹣1,由h(t)=0,得t=﹣ <0,不满足题意

若a﹣1<0,即a<1时,由 ,得a=﹣3或a=

当a=﹣3时,t= 满足题意

当a= 时,t=﹣2(舍去)

综上所述实数a的取值范围是{a|a>1或a=﹣3}


【解析】(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值;(2)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论.

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