题目内容
【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x﹣ a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数
∴f(﹣x)=log4(4﹣x+1)﹣kx)=log4( )﹣kx=log4(4x+1)+kx(k∈R)恒成立
∴﹣(k+1)=k,则k=
(2)解:g(x)=log4(a2x﹣ a),
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即
方程f(x)=g(x)只有一个解
由已知得log4(4x+1) x=log4(a2x﹣ a),
∴log4( )=log4(a2x﹣ a),
方程等价于 ,
设2x=t,t>0,则(a﹣1)t2﹣ ﹣1=0有一解
若a﹣1>0,设h(t)=(a﹣1)t2﹣ ﹣1,
∵h(0)=﹣1<0,∴恰好有一正解
∴a>1满足题意
若a﹣1=0,即a=1时,h(t)=﹣ ﹣1,由h(t)=0,得t=﹣ <0,不满足题意
若a﹣1<0,即a<1时,由 ,得a=﹣3或a= ,
当a=﹣3时,t= 满足题意
当a= 时,t=﹣2(舍去)
综上所述实数a的取值范围是{a|a>1或a=﹣3}
【解析】(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值;(2)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论.