题目内容
【题目】已知圆C过点(1,2)和(2,1),且圆心在直线x+y﹣4=0上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若一束光线l自点A(﹣3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射到圆C上,若反射点为M(a,0),求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设圆心坐标为(x,4﹣x),则(x﹣1)2+(2﹣x)2=(x﹣2)2+(3﹣x)2 ,
∴x=2,
∴C(2,2),
∴圆C的方程C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1;
(Ⅱ)A关于x轴的对称点A′(﹣3,﹣3),设过A′的直线为y+3=k(x+3),
当该直线与⊙C相切时,有=1,∴k=
或k=
∴过A′,⊙C的两条切线为y+3=(x+3),y+3=
(x+3),
令y=0,得x1=﹣,x2=1
∴反射点M在x轴上的范围是[﹣,1].
【解析】(Ⅰ)求出圆心坐标与半径,即可求圆C的方程;
(Ⅱ)由题意,可知反射线必过定点A′(点是点A关于x轴对称的点),利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态.
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识,掌握圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程.
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