题目内容
【题目】已知
，数列A：
，
，…
中的项均为不大于
的正整数.
表示，，…中
的个数（
）.定义变换
，将数列
变成数列
：
，
，…
其中
.
（1）若
，对数列：
，写出
的值；
（2）已知对任意的（
），存在中的项
，使得
.求证：
（
）的充分必要条件为
（
）；
（3）若
，对于数列：，，…，令
：
，求证：
（）.
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据定义,
表示
,
,…
中
的个数,即可由数列
得
的值.
（2）根据对任意的（
）,存在中的项
,使得
,由充分必要条件的判定,分必要性与充分性两步分别证明即可.
（3）设：,,…的所有不同取值为
,且满足：
.设
.根据
,结合题意中的
变换可得
：
,
,
,即可证明
（
）.
（1）∵
,对数列:
,
∴.
（2）证明：由于对任意的正整数（
）,存在中的项,使得.所以
均不为零.
必要性：
（
）,由于
,
∴
；
；
；…；
.
通过解此方程组,可得
（
）成立.
充分性：若（）成立,不妨设
（）,可以得到
∴
；
；
；…；
.
∴（）成立.
故（）的充分必要条件为（）
（3）证明：设：,,…的所有不同取值为,且满足：.
不妨设,
其中
；
；…；
.
又∵,根据变换有：
；
；…；
；
∴
：
,
,
,
即：
,
,
,
∴：,,,
∵
,
∴
,
,…,
.
∴
,
即：
,,,
从而（）.
故（）
【题目】某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量（百件）/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型
拟合当地该商品销量
（千件）与返还点数
之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间 （百分比） | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
将对返点点数的心理预期值在
和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.
