题目内容
【题目】某公司航拍宣传画报,为了凸显公司文化,选择如图所示的边长为2百米的正三角形空地进行布置拍摄场景,在
的中点
处安装中央聚光灯,
为边
上得可以自由滑动的动点,其中
设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩),线段
部分需要材料
(单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料
价格昂贵,所以公司要求采购
材料使用不造成浪费.
(1)当,
与
垂直时,采购部需要采购多少百米材料
?
(2)为了增加拍摄动态效果需要,现要求点在
边上滑动,且
,则购买材料
的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.
【答案】(1)(百米);
(2)(单位为百米).
【解析】
(1)因为与
垂直,所以三角形
是直角三角形,利用锐角三角函数,可以求出
的长,这样可以求出
的长,在
中,利用正弦定理可以求出
的长,这样可以求出
的长,这样可以求出采购部需要采购材料
的数量;
(2)设,根据
,可以求出
的取值范围,由
和三角形
等边三角形,可以证明出
与
相似,这样可以得到
之间的关系,这样
可以用关于
的式子表示,构造函数,利用函数的单调性,求出
的取值范围.
(1)三角形等边三角形,
是
的中点,因此
,
,因为
与
重直,所以三角形
是直角三角形,因此有
,
所以,因此
,在
中,由正弦定理可知:
,
,因此
,所以采购部需要采购材料
为
(百米);
(2)设,当
与
重合时,由
,可求得
,所以
,
因为,所以
,而
,
所以,
,因此
与
相似,
所以有,设
,
,
,当
时,
,函数
单调递增,当
时,
,函数
单调递减,故当
时,
有最大值2,
,所以
,购买材料
的范围是
(单位为百米).
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